计算机软件可以破解几个世纪以来的数学难题

2019-05-15 09:56

在数学中,没有一位研究者真正孤立地工作。即使是那些单独工作的人,也会利用他们的同事和前辈的定理和方法来开发新的想法。

但是当一种已知的技术太难在实践中使用时,数学家们可能忽略了重要的问题-或者说是可以解决的问题。

最近,我和几位数学家一起做了一个项目,让这样的技术更容易使用。我们制作了一个计算机包为了解决一个叫做“S单位方程”的问题,希望所有条纹的数论家能够更容易地攻击数学中各种各样尚未解决的问题。

丢番图方程

在他的文本中“阿里斯梅蒂卡“数学家Diophantus研究了代数方程,它的解必须是整数。碰巧,这些问题与数论和几何学都有很大关系,数学家从那时起就一直在研究它们。

为什么要添加这种只对整数解的限制?有时候,原因是实际的;养13.7只羊或买1.66辆车是没有意义的。此外,数学家被吸引到这些问题,现在称为丢番图方程。他们的魅力来自于他们令人惊讶的困难,以及他们揭示数学本质的基本真理的能力。

事实上,数学家通常对任何特定的丢番图问题的具体解都不感兴趣。但是当数学家们发展出新的技术时,他们的力量可以通过解决以前未解的丢番图方程来证明。

安德鲁·怀尔斯Fermat最后定理的证明是个著名的例子。皮埃尔·德·费马于1637年在一本“Arithmetica”的边缘声称,已经解决了丢番图方程x?+y?=z?却没有提供任何理由。300年后,当威尔斯证明了这一点时,数学家们立即注意到了这一点。如果威尔斯发明了一个解决费马问题的新想法,那么这个想法还能做些什么呢?数字理论家们争先恐后地理解怀尔斯的方法,对其加以概括,并找到新的结果。

没有一种方法可以求解所有的丢番图方程。相反,数学家培养了各种各样的技术,每一种技术都适用于某些类型的丢番图问题,而不是其他类型的问题。因此,数学家根据这些问题的特征或复杂性对它们进行分类,就像生物学家可能根据分类法对物种进行分类一样。

精细分类

这种分类产生了专家,因为不同数量的理论家专门研究与不同家族的丢番图问题相关的技术,例如椭圆曲线, 二元形式或图马勒方程.

在每个家族中,更精细的分类会被定制。数学家发展不变量-出现在方程中的系数的某些组合-区分同一族中不同的方程。对于一个特定的方程,计算这些不变量是很容易的。然而,与其他数学领域的更深层次的联系涉及到更有雄心的问题,例如:“有任何不变量13的椭圆曲线吗?”或“有多少二进制形式具有不变的27?”

S-单位方程可以用来解决许多更大的问题。S指与特定问题相关的素数列表,如{2、3、7}。S-单位是一个分数,它的分子和分母是通过从列表中只乘以数字而形成的.在这种情况下,3/7和14/9是S-单位,但6/5不是。

S-单位方程在表面上是简单的状态:找到所有对的S-单位,其中加1。找到一些解决办法,如(3/7,4/7),可以用笔和纸。但关键是“全部”,这使得这个问题无论在理论上还是在计算上都很困难。你怎么能确定每个解决方案都找到了?

从理论上讲,数学家们已经知道如何求解S-单位方程了。然而,这一过程是如此复杂,以至于没有人能够真正地用手解决这个方程,而且很少有案例被解决。这是令人沮丧的,因为许多有趣的问题已经被简化为“只是”解决一些特殊的S单元方程。

解算器是如何工作的

然而,情况正在发生变化。自2017年以来,包括我在内的北美地区的六位数字理论家一直在为开源数学软件构建一个S单元方程求解器。SageMath。3月3日,我们宣布完工这个项目。为了说明它的应用,我们使用该软件解决了几个开放的丢番图问题。

S-单位方程的主要困难是,虽然只有少数解存在,但有无限多的S单位可能是解的一部分。通过合并著名定理艾伦·贝克和一个娇嫩的人算法技术在Benne de Weger中,解决者从考虑中消除了大多数S单位。即使在这一点上,可能还有数十亿的S单位-或者更多的-需要检查;该程序现在试图使最终的搜索尽可能高效。

这种求解S-单位方程的方法已有20多年的历史,但由于所涉及的计算复杂且耗时,因此使用非常少。以前,如果数学家遇到了她想要解决的S单位方程,就没有自动的方法来解决它。她将不得不仔细地通过贝克,德韦格和其他人的工作,然后编写自己的计算机程序来进行计算。运行程序可能需要几个小时、几天甚至几周的时间才能完成计算。

我们希望该软件能帮助数学家解决数论中的重要问题,提高他们对数学本质、美和有效性的认识。

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